Linearne diferencijalne jednadžbe (oblik: )

Ako je naša jednadžba oblika tada je to linearna diferencijalna jednadžba. Zovemo je linearnom jer je lijeva strana linearna kombinacija nepoznate funkcije y i njezine derivacije y'. Koeficijenti mogu biti i funkcije nepoznanice x.

Pretpostavimo li da su funkcije p(x) i q(x) zadane na otvorenom intervalu realnih brojeva i da su na tom intervalu neprekinute, linearna dif. jednadžba ima samo jedno rješenje koje zadovoljava početni uvjet - prolazi zadanom točkom. Znači da se krivulje koje predstavljaju rješenja za različite početne uvjete ne sijeku.

Ako je q=0, tada imamo homogenu linearnu jednadžbu (koja uvijek ima separirane varijable). Nju ne treba povezivati s homogenim dif. jednadžbama iz prethodnog poglavlja.


Njezino je rješenje:

Različita riješenja dobivamo izborom konstante C.

Pretpostavimo da su nam poznata dva rješenja početne diferencijalne jednadžbe:


Sada ih oduzmemo, i vidimo da razlika tih rješenja zadovoljava homogenu jednadžbu:

Ako nam je poznato neko rješenje lin. dif. jednadžbe, nazivamo ga posebno ili partikularno rješenje. Možemo iz gornje jednakosti zaključiti da ćemo bilo koje rješenje dobiti tako da tom rješenju dodamo neko rješenje pripadne homogene jednadžbe.

Dakle potrebno je pronaći samo jedno rješenje linearne dif. jednadžbe i opće rješenje pripadne homogene da bismo dobili opće rješenje lin. dif. jednadžbe.

Postoje tri metode kojima ćemo doći do rješenja: Metoda varijacije konstante, metoda supstitucije, te množenje multiplikatorom.

Varijacija konstante


Partikularno rješenje nalazimo tražeći ga u obliku . Treba odrediti nepoznatu funkciju C(x) tako da y bude rješenje. Uvrstimo u početnu jednadžbu . Dobit ćemo:

Dakle, ako C(x) uvrstimo u y dobivamo opće rješenje linearne dif. jednadžbe:


Međutim, ne treba napamet pamtiti ove jednadžbe jer ćemo do njih doći kroz zadatke.


1. Riješiti dif. jednadžbu:

Rješenje:

Prvo ćemo riješiti pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu:



Sada ćemo dobivenu jednadžbu uvrstiti u početnu kako bismo dobili konstantu C:



Pa je opće rješenje naše polazne jednadžbe:




2. Riješiti dif. jednadžbu: i naći rješenje u točki za koju je y(0)=0


Rješenje:

Prvo ćemo riješiti pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu:



Sada ćemo dobivenu jednadžbu uvrstiti u početnu kako bismo dobili konstantu C:



Opće rješenje jednadžbe je dakle:



Mi tražimo rješenje u točki za koju je y(0)=0:



3. Riješiti dif. jednadžbu:


Rješenje:

Prvo moramo "srediti" ovu jednadžbu da je "dovedemo" do linearne:



Sada riješavamo pripadnu homogenu jednadžbu:



Vratimo x u početnu jednadžbu kako bismo dobili C:



Te dobivamo konačno rješenje:


 

Metoda supstitucije


Potražimo rješenje lin. dif. jednadžbe u obliku produkta dviju funkcija:

Uvrstimo li je u dobit ćemo:

Odaberimo sad u,v takve da bude:

Ovo je diferencijalna jednadžba za nepoznatu funkciju u(x), riješit ćemo je separacijom varijabli:

Uvrstimo dobiveno gore i dobijemo:

Opće rješenje je (y=u*v):

1. Riješiti dif. jednadžbu:


Rješenje:

Tražimo rješenje u obliku umnoška:

Sad, iz jednadžbe dobijemo:

A iz

Opće je rješenje umnožak funkcija u i v:



Množenje multiplikatorom

Ako našu diferencijalnu jednadžbu napišemo u obliku , tada je to jednadžba oblika kojeg smo proučavali u prošlom poglavlju ( ), a znamo da od takve jednadžbe možemo "načiniti" egzaktnu jednadžbu ako je .

Linearna jednadžba najčešće neće biti egzaktna, ali zato postoji metoda svođenja ne-egzaktnih jednadžbi na egzaktne pomoću Eulerovog multiplikatora.

1. Riješiti dif. jednadžbu:


Rješenje:

Prvo ćemo našu jednadžbu napisati u obliku :

Znamo da je , pa je :

Sad množimo našupočetnu jednadžbu s :

I dobili smo egzaktnu dif. jednadžbu koja se lako riješi:

 

Bernoullijeva jednadžba

Postoji jedan specifičan oblik dif. jednadžbe zvan Bernoullijeva jednadžba. Ona je oblika: .

Ako je =0, tada je to linearna dif. jednadžba;
Ako je =1, tada je to homogena linearna dif. jednadžba;
Ako je različit od 0 ili 1, tada uvodimo supstituciju:



1. Riješiti dif. jednadžbu:

Rješenje:

Napišimo jednadžbu u obliku:



Vidimo da je =4, pa uvodimo supstituciju ,

Vratimo y i y' u početnu jednadžbu:

Dobili smo linearnu dif. jednadžbu, izračunamo je, i vratimo y umjesto z, te je konačno rješenje:





NASTAVAK: SINGULARNA RJEŠENJA OPĆE D.J. PRVOG REDA